Дипломная работа на тему "Оценка эффективности аэробных упражнений в процессе реабилитации студенток специальной медицинской группы с диагнозом пороки сердца"

ГлавнаяФизкультура и спорт → Оценка эффективности аэробных упражнений в процессе реабилитации студенток специальной медицинской группы с диагнозом пороки сердца




Не нашли то, что вам нужно?
Посмотрите вашу тему в базе готовых дипломных и курсовых работ:

(Результаты откроются в новом окне)

Текст дипломной работы "Оценка эффективности аэробных упражнений в процессе реабилитации студенток специальной медицинской группы с диагнозом пороки сердца":


Дипломная работа

По теме

Структура некоторых числовых множеств

Введение

В 1870-х годах немецкий математик Георг Кантор (1845-1918) создал теорию множеств — исключительно мощное и важное математическое учение, оказавшее огромное влияние на развитие современной математики. Теория множеств не только явилась фундаментом целого ряда новых математических дисциплин, но и оказала глубокое влияние на понимание самого предмета математики. Помимо прочего в канторовской теории множеств впервые были развиты конструктивные подходы к анализу проблемы бесконечности, более двух тысяч лет являвшейся лишь предметом филологических упражнений философов.

Теория множеств изучает общие свойства множеств, преимущественно бесконечных. Понятие множества простейшее математическое понятие, оно не поддается определению, ибо определить понятие — значит найти такое родовое понятие, в которое данное понятие входит в качестве вида, но множество — это, пожалуй, самое широкое понятие математики и логики.

Однако Кантор попытался определить данное понятие так: «Под множеством, - разъяснял Георг Кантор, - я понимаю вообще всякое многое, которое можно мыслить как единое, то есть всякую совокупность определенных элементов, которая может быть связана в одно целое с помощью некоторого закона...» 1. Но эта концепция привела к парадоксам, в частности, к парадоксу Рассела, и данная теория стала называться наивной теорией множеств.

Парадокс Рассела — открытая в 1903 году Бертраном Расселом и позднее независимо переоткрытая Эрнестом Цермело теоретико-множественная антиномия, демонстрирующая противоречивость наивной теории множеств Г. Кантора. Антиномия Рассела формулируется следующим образом: Пусть K — множество всех множеств, которые не содержат себя в качестве своего элемента. Содержит ли K самого себя в качестве элемента? Если да, то, по определению K, оно не должно быть элементом K — противоречие. Если нет — то, по определению K, оно должно быть элементом множеств, включающихся в К — вновь противоречие.

После этого теория множеств была аксиоматизирована. На сегодняшний день множество определяется как модель, удовлетворяющая ряду аксиом (так называемая аксиоматика Цермело – Френкеля).

Множества могут состоять из самых различных элементов. Именно этим объясняется чрезвычайная широта теории множеств и ее приложимость к самым разным областям знания.

Для математики особо важную роль играют множества, составленные из математических объектов, в частности числовые множества, о которых и пойдет речь в данной работе.

При написании этой дипломной работы мы задавались целью - изучить исходные понятия и важнейшие теоремы теории множеств, а также на основании данного материала, решить ряд нестандартных задач по выявлению структуры некоторых числовых множеств.

Данная работа состоит из трех глав: «Мощности бесконечных множеств», «Точечные множества», «Решение некоторых задач».

В первой главе приводится краткое историческое описание становления теории множетсв, определяются основные понятия, такие как мощность, счетное множество, континуальное множество, с которыми нужно ознакомиться для дальнейшей работы. Устанавливаются связи между ними и доказываются основные теоремы о мощностях бесконечных множеств. В конце главы рассматривается важная теорема Шредера – Бернштейна, позволяющая проводить сравнения мощностей бесконечных множеств.

Во второй главе рассматриваются только числовые множества, т. е. множества точек числовой прямой. Вводятся основные понятия, такие как замкнутое множество, открытое множество, совершенное множество, рассматривается структура таких множеств, формулируются и доказываются основные теоремы, на основании которых, в итоге, делается важный вывод о мощности замкнутого множества.

Третья глава посвящена детальному и подробному решению ряда интересных задач (теорем) по определению структуры некоторых бесконечных числовых множеств. Также приведена задача, решение которой на первый взгляд может показаться верным, но при подробном анализе представленного доказательства можно заметить, что в решении содержится ошибочное предположение, в результате чего данное доказательство теряет свою силу. Строгое решение этой задачи также приведено в работе.

Глава 1. Мощности бесконечных множеств

Заказать написание дипломной - rosdiplomnaya.com

Уникальный банк готовых оригинальных дипломных работ предлагает вам скачать любые работы по требуемой вам теме. Профессиональное написание дипломных работ по индивидуальному заказу в Казани и в других городах России.

§ 1. К истории становления теории множеств

С самого зарождения математической науки как самостоятельной отрасли знания и на протяжении более чем двух тысячелетий математики занимались поисками истины и добились на этом пути выдающихся успехов. Шаг за шагом древние греки, а вслед за ними и представители других цивилизаций открывали математические законы, полагая, что план, по которому построена вселенная, имеет математический характер. Необозримое множество теорем о числах и фигурах, казалось, служило неисчерпаемым источником абсолютного знания, которое никогда и никем не может быть поколеблено [4; 19]. Однако по мере развития математики связь с реальным миром становится все менее ощутимой, встает вопрос о логическом обосновании математики.

В конце 19 века на передний план выступает проблема доказательства непротиворечивости математики. Движение за аксиоматизацию математики в этот период заставило математиков понять, сколь глубокая пропасть отделяет математику от реального мира. Каждая аксиоматическая система содержит неопределяемые понятия, свойства которых задаются только аксиомами. Новой теорией, которая привела к противоречиям и открыла многим глаза на противоречия, существовавшие в более старых областях математики, была теория бесконечных множеств. Первые шаги в изучении теории числовых множеств связаны с именем Георг Кантор (1845 – 1918). В 1873 г. Кантор поставил задачу классифицировать бесконечные множества. Введенные Кантором определения позволяли сравнивать два бесконечных множества по мощности. Основная идея Кантора сводилась к установлению взаимнооднозначного соответствия между множествами.

Идея взаимнооднозначного соответствия привела Кантора к неожиданному результату: он показал, что можно установить взаимнооднозначное соответствие между точками прямой и точками плоскости. Следуя принципу взаимнооднозначного соответствия, Кантор установил для бесконечных множеств отношение эквивалентности, или равенства («равномощности» двух множеств). Множество натуральных чисел и множества, которые можно поставить во взаимнооднозначное соответствие с этим множеством, содержат одинаковое число элементов, которое Кантор обозначил символом Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Так как множество всех вещественных чисел больше по мощности множества натуральных чисел, Кантор обозначил его мощность новым символом – с. Возник вопрос – существует ли множество промежуточной мощности (утверждение о том, что такого множества не существует, носит название континуум гипотезы). В последствии было доказано, что в системе аксиом Цермело – Френкеля утверждение о существовании промежуточной мощности не может быть ни доказано, ни опровергнуто.

Когда Кантор в 70-х годах 19 века приступил к созданию теории бесконечных множеств и еще много лет спустя, эта теория находилась на периферии математической науки. Но к началу 20 века канторовская теория множеств нашла широкое применение во многих областях математики. Кантор и Рихард Дедекинд понимали, сколь важна теория множеств для обоснования теории целых чисел, для анализа понятий линии и размерности и даже для обоснований математики. Другие математики, в частности Эмиль Борель и Анри Леон Лебег, к тому времени уже работали над обобщением интеграла, в основу которого была положена канторовская теория множеств. Поэтому, когда сам Кантор обнаружил, что его теория множеств сопряжена с определенными трудностями, это было далеко немаловажным событием. Кантор дал несколько словесных определений множества, но эти определения не отличались строгостью, и теорию множеств в том виде, как ее изложил Кантор, нередко называют наивной. По мнению многих ученых, тщательный подбор аксиоматической основы должен был избавить теорию множеств от многих проблем и противоречий [8; 135].

Приступая к построению математики на основе теории множеств, можно выбрать ту или иную из возможных исходных позиций. Можно запретить использование гипотезы континуума, но это существенно ограничит круг теорем, доказываемых в рамках системы. Можно поступить иначе и включить в систему аксиом гипотезу континуума или ее отрицание. При этом неизвестно, к каким важным следствиям может привести отрицание гипотезы континуума. Сказанное означает, что существует не одна, а много математик. Теория множеств (рассматриваемая отдельно от остальных оснований математики) может развиваться во многих направлениях. Остановить свой выбор на одном из направлений нелегко, так как в любом случае принятие определенной редакции аксиом имеет свои положительные и отрицательные стороны.

§ 2. Счетные множества

Определение 1. Пусть А и В два множества. Правило, которое каждому элементу а множества А соотносит один и только один элемент Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. множества В, причем каждый элемент Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. оказывается соотнесенным одному и только одному элементу Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., называется взаимнооднозначным соответствием между множествами А и В.

В этом случае множества А и В называются эквивалентными или же говорят, что эти множества имеют одинаковую мощность. Обозначение

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Определение 2. Пусть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. множество всех натуральных чисел. Всякое множество А, эквивалентное множеству Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., называется исчислимым, или счетным, или короче имеет мощность Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Теорема 1. Для того чтобы множество А было счетным, необходимо и достаточно, чтобы его можно было перенумеровать, т. е. представить в форме последовательности

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Теорема 2. Из всякого бесконечного множества можно выделить счетное подмножество.

Теорема 3. Всякое бесконечное подмножество счетного множества счетно.

Следствие 1. Если из счетного множества А удалить конечное подмножество М, то оставшееся множество А – М будет счетным.

Теорема 4. Сумма конечного множества и счетного множества есть счетное множество.

Теорема 5. Сумма конечного числа счетных множеств есть счетное множество.

Теорема 6. Сумма счетного множества конечных множеств есть счетное множество.

Теорема 7. Сумма счетного множества счетных множеств есть счетное множество.

Теорема 8. Множество Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. всех рациональных чисел счетно.

Доказательство

Множество дробей вида Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. с зафиксированным знаменателем Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., т. е. множество

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. очевидно счетно

Но знаменатель может принимать также счетное множество натуральных значений. Значит, в силу теоремы 7, множество

М=Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. - счетно

Удаляя из М все сократимые дроби и применяя теорему 3, убеждаемся в счетности всех положительных рациональных чисел Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., а значит в счетности всех отрицательных рациональных чисел Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., т. к. множества

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Отсюда множество все рациональных чисел Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.счетно, поскольку

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Теорема доказана.

Следствие 1. Множество рациональных чисел любого отрезка Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. счетно.

Теорема 9. Если к бесконечному множеству М прибавить конечное или счетное множество А новых элементов, то это не изменит его мощности, т. е.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Доказательство

Выделим, пользуясь теоремой 2, из М счетное подмножество Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и пусть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., тогда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Так как Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., применяя теоремы 4 и 5 , получаем Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Теорема доказана.

Теорема 10. Если бесконечное множество Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. несчетно, а А его конечное или счетное подмножество, то Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Доказательство

Множество Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. не может быть конечным, иначе исходное множество Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. было бы конечным или счетным. Но тогда по теореме 9, будет Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., а это и значит, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Теорема доказана.

Теорема 11. Если элементы множества А определяются Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. значками, каждый из которых, независимо от других, пробегает счетное множество значений

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то множество А счетно.

Доказательство

Докажем теорему методом математической индукции.

Теорема очевидна, если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Допустим, что теорема справедлива для Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., покажем, что она справедлива и для Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Пусть

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Обозначим через Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. множество тех элементов А, для которых Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. одно из возможных значений Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.-го значка, т. е. положим Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

В силу сделанного допущения множество Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. счетно, а так как

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то счетно и А

Теорема доказана

Следствие 1. Множество точек плоскости, у которых обе координаты рациональны, счетно.

Следствие 2.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Множество многочленов Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. с целыми коэффициентами счетно.

Теорема 12. Множество алгебраических чисел счетно [6; 20].

§ 3. Мощность континуума

Теорема 1. Отрезок Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. несчетен.

Доказательство

Допустим противное.

Пусть отрезок Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. - счетное множество. Тогда все его точки можно расположить в виде последовательности

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (1)

Пусть это сделано, т. е. всякая точка Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. находится в последовательности (1).

Разделим Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. на три равные части точками Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (рис. 1). Ясно, что точка Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. не может принадлежать всем трем отрезкам Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и хотя бы один из них не содержит ее. Обозначим через Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. тот отрезок, который не содержит Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (если таких отрезков два, то через Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. называем любой из них).

--------------------------------------------------

---------------------------------------------------------
Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. |
---------------------------------------------------------
Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. |
---------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------
Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. |
---------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------
Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. | Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. | Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. | Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. |
---------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------

--------------------------------------------------------- --------------------------------------------------

Рис. 1

Теперь разделим на три равных отрезка отрезок Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.и обозначим через Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.тот из новых отрезков, который не содержит точки Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Затем делим на три равных отрезка отрезок Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.и обозначаем через Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.тот из них, который не содержит точки Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и т. д.

В результате мы получим бесконечную последовательность вложенных друг в друга отрезков Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. которые обладают тем свойством, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Так как длина отрезка Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. с возрастанием Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. стремиться к нулю, то по теореме Кантора о вложенных отрезках, существует точка Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., общая для всех отрезков Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Так как Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то точка Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. должна входит в последовательность (1). Но это невозможно, ибо Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Отсюда получаем, что точка Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. не может совпасть ни с одной из точек последовательности (1).

Теорема доказана

Определение 1. Если множество А эквивалентно отрезку Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. то говорят, что А имеет мощность континуума, или короче, мощность с.

Теорема 2. Всякий отрезок Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., всякий интервал Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и всякий полуинтервал Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. или Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. имеет мощность с.

Доказательство

Пусть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Формула

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

устанавливает взаимнооднозначное соответствие между множествами Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., откуда и следует, что А имеет мощность континуума.

Так как удаление одного или двух элементов из бесконечного множества приводит к множеству, эквивалентному исходному, то промежутки Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. имеет ту же мощность, что и отрезок Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., т. е. мощность с.

Теорема доказана.

Теорема 3. Сумма конечного числа попарно не пересекающихся множеств мощности с имеет мощность с.

Доказательство

Пусть

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

где каждое из множеств Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. имеет мощность с.

Возьмем полуинтервал Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и точками Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. разложим его на Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. полуинтервалов Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Каждый из этих полуинтервалов имеет мощность с, так что мы можем связать множество Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и полуинтервал Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. взаимнооднозначным соответствием. Легко видеть, что таким образом оказывается, установлено взаимнооднозначное соответствие между суммой Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и полуинтервалом

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Теорема доказана.

Теорема 4. Сумма счетного множества попарно не пересекающихся множеств мощности с имеет мощность с.

Доказательство

Пусть

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

где каждое из множеств Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. имеет мощность с.

Возьмем на полуинтервале Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. монотонно возрастающую последовательность и точками Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. для которой Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Установив взаимнооднозначное соответствие между множествами Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. для всех Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., мы тем самым установим взаимнооднозначное соответствие между Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Теорема доказана.

Следствие 1. Множество Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. всех действительных чисел имеет мощность с.

Следствие 2. Множество всех иррациональных чисел имеет мощность с.

Следствие 3. Существуют трансцендентные (неалгебраические) числа.

Теорема 5. Множество Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. всех последовательности натуральных чисел

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. имеет мощность Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Доказательство

Докажем теорему двумя способами:

1) Основанное на теории непрерывных дробей.

Установим взаимнооднозначное соответствие между Р и множеством всех иррациональных чисел интервала (0, 1), считая взаимосоответствующими последовательность Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и иррациональное число Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., для которого разложение в непрерывную дробь имеет вид

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Возможность соответствия и доказывает теорему.

2) Основанное на теории двоичных дробей.

Рассмотрим некоторые факты этой теории:

1. Двоичной дробью называется сумма рядаРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Указанная сумма обозначается символом Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

2. Всякое число Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. допускает представление в форме Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Это представление единственно в случае, когда х не есть дробь вида Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Числа 0 и 1 разлагаются (единственным образом) в дроби Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Если же Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. допускает два разложения. В этих разложениях знаки Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. совпадают, а знак Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. в одном из них равен 1, а в другом 0. Все остальные знаки у первого разложения нули (0 в периоде), а у второго единицы (1 в периоде).

Например

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

3. Всякая двоичная дробь равна некоторому числу Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Если эта дробь содержит 0 или 1 в периоде, то Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. есть число вида Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., исключение составляют дроби Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., и тогда, наряду с исходным, существует еще одно двоичное разложение Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Если же двоичная дробь не содержит цифру 0 или 1 в периоде, то Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и других двоичных разложений Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. не имеет

Вернемся к доказательству теоремы.

Условимся не пользоваться дробями, содержащими единицу в периоде. Тогда каждое число из полуинтервала Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. будет иметь единственное представление в форме

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (1)

причем, какое бы число Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. ни взять, найдутся такие Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., что

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Обратно, любой дроби (1) с этим свойством отвечает точка из Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Но задать дробь (1) можно, указав те Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., для которых Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Эти Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. образуют возрастающую последовательность натуральных чисел

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (2)

и каждой такой последовательности отвечает дробь (1). Значит, множество Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. последовательностей (2) имеет мощность Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Но между множествами Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. легко установить взаимнооднозначное соответствие. Для этого достаточно соотнести последовательности (2) последовательность

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. из Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., для которой Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,…

Теорема доказана.

Теорема 6. Если элементы множества А определяются Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. значками, каждый из которых, независимо от прочих значков, принимает множество значений мощностью Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то множество А имеет мощность Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Доказательство

Достаточно рассмотреть случай для трех значков, так как рассуждение имеет общий характер.

Пусть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Назовем через Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (соответственно, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.) множество значений значка Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (соответственно, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.), при этом каждый из значков изменяется независимо от прочих и каждое из множеств Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. имеет мощность Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Установим взаимнооднозначное соответствие между каждым из множеств Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и множеством Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. всех последовательностей натуральных чисел. Это позволит установить такое же соотношение между Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Пусть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

В соответствиях между Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. элементам Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. отвечают какие-то элементы из Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Пусть

элементу Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. отвечает последовательность Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

элементу Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. отвечает последовательность Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

элементу Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. отвечает последовательность Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Соотнесем элементу Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. последовательность Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., очевидно входящую в Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Этим мы действительно получили взаимнооднозначное соответствие между А и Р, значит множество А имеет мощность Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Теорема доказана.

Следствие 1. Множество всех точек плоскости имеет мощность Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Следствие 2. Множество всех точек трехмерного пространства имеет мощность Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Следствие 3. Сумма с попарно не пересекающихся множеств мощности с имеет мощность с [6; 27].

Теорема 7. Если элементы множества А определяются с помощью счетного множества значков Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., каждый из которых, независимо от прочих значков, принимает множество значений мощностью Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то множество А имеет мощность с.

Доказательство

Пусть множество значений значка Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. есть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Свяжем его взаимнооднозначным соответствием с множеством Р всех последовательностей натуральных чисел.

Пусть это соответствие обозначено Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Сделав это, выберем произвольный элемент Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Тогда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Пусть в соответствии Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. значению Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. значка Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. отвечает последовательность

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Тогда элементу Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. отвечает бесконечная целочисленная матрица

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (*)

Легко видеть, что полученное соответствие между А и множеством Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. матриц (*) взаимнооднозначно. Стало быть, остается обнаружить, что множество Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. имеет мощность с. Но это очевидно, так как, соотнеся матрице (*) последовательность

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

мы сразу получим взаимнооднозначное соответствие между Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Значит множество А имеет мощность Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Теорема доказана.

Теорема 8. Множество Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. всех последовательностей вида Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., независимо друг от друга, принимают значения 0 и 1, имеет мощность с.

Доказательство

Пусть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. - множество тех последовательностей из Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., в которых, начиная с некоторого места, все Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. равны 1.

Каждой последовательности Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., входящей в Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., можно соотнести число, имеющее двоичное разложение Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.; это число будет 1 или Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., причем полученное соответствие между Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и множеством чисел указанного вида, очевидно взаимнооднозначно, откуда следует, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. множество счетное.

С другой стороны, если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., входящей в Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. соотнести число с двоичным разложением Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то мы получим взаимнооднозначное соответствие между Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и полуинтервалом [0,1), откуда вытекает, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., а значит и Т, имеют мощность с. Теорема доказана.

Следствие 1. Если элементы множества А определяются с помощью счетного множества значков, каждый из которых, независимо от прочих, принимает два значения, то множество А имеет мощность с [6; 28].

§ 4. Сравнение мощностей

Мы определили выше смысл выражений «два множества имеют одинаковую мощность», «множество имеет мощность Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.», «множество имеет мощность с». Таким образом, встретив слово «мощность» в одном из подобных выражений, мы знаем, что оно означает, но само по себе понятие «мощность множества» у нас не определено.

Еще Г. Кантор пытался дать определение данному понятию:

«Мощностью данного множества А называется та общая идея, которая остается у нас, когда мы, мысля об этом множестве, отвлекаемся как от всех свойств его элементов, так и от их порядка» 2.

В связи с этим Г. Кантор обозначал мощность множества А символом Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (две черты – «двойное» отвлечение).

В настоящее время канторовский способ определения понятия мощности не считается удовлетворительным (хотя обозначение Здесь опубликована для ознакомления часть дипломной работы "Оценка эффективности аэробных упражнений в процессе реабилитации студенток специальной медицинской группы с диагнозом пороки сердца". Эта работа найдена в открытых источниках Интернет. А это значит, что если попытаться её защитить, то она 100% не пройдёт проверку российских ВУЗов на плагиат и её не примет ваш руководитель дипломной работы!
Если у вас нет возможности самостоятельно написать дипломную - закажите её написание опытному автору»


Просмотров: 441

Другие дипломные работы по специальности "Физкультура и спорт":

Формирование здорового образа жизни школьников девятого класса на уроках физической культуры

Смотреть работу >>

Физическая культура в общекультурной и профессиональной подготовке студентов

Смотреть работу >>

Характеристика показателей сердечно-сосудистой системы и мышечной силы кисти у детей 11-14 лет, занимающихся дзюдо в ДЮЦ "Атлет"

Смотреть работу >>

Динамика показателей артериального давления и частоты сердечных сокращений у детей 7-11 лет, занимающихся спортивными бальными танцами

Смотреть работу >>

Разработка бизнес-плана создания предприятия гостиничного комплекса

Смотреть работу >>