Дипломная работа на тему "Оценки спектральных радиусов"

ГлавнаяФизика → Оценки спектральных радиусов




Не нашли то, что вам нужно?
Посмотрите вашу тему в базе готовых дипломных и курсовых работ:

(Результаты откроются в новом окне)

Текст дипломной работы "Оценки спектральных радиусов":


Содержание

ВВЕДЕНИЕ    

Глава 1. Интегральные операторы

§1. Операторы.

§2. Конусы

§3. Интегральные операторы

§4. Интегральные уравнения с вырожденным ядром и уравнения типа свертки

Глава 2. Оценки спектральных радиусов интегральных операторов.

§1. Сравнение спектральных радиусов двух положительных операторов

§2. Оценки спектрального радиуса интегрального оператора

§3. Новые оценки спектрального радиуса линейного положительного оператора

ГЛАВА 3. Интегральные операторы в пространствах Лебега и Лоренца

§1. Пространства Лебега и Лоренца

§2. Условия ограниченности интегрального оператора в пространствах Лоренца

§3. Обобщенное неравенство Юнга – ОНейла

Заключение

Литература.


Введение

Функциональный анализ – мощное средство для решения математический задач, возникающих в реальных ситуациях, он имеет множество приложений в различных областях математики, его методы проникают в смежные технические дисциплины.

Многие задачи математической физики, теории упругости, гидродинамики сводятся к отысканию решения дифференциального линейного уравнения, что, в свою очередь, приводит к задаче отыскания решения уравнения  Аx = y с линейным оператором А.

 Основными вопросами, на которые призвана отвечать теория операторов, являются, во-первых, вопросы качественного характера и, во-вторых, вопросы, касающиеся приближенных методов решения операторных уравнений. В настоящей работе исследуются лишь некоторые вопросы. Например, такие вопросы, как: оценки позитивного спектра линейного неразложимого оператора, сравнение спектральных радиусов двух положительных операторов,  и др.

Актуальность работы. Возможность существования непрерывного спектра является характерной чертой линейных операторов общего вида в бесконечномерном пространстве. Конечномерные линейные преобразования и интегральные операторы без особенностей не имеют непрерывного спектра.

Спектральный анализ операторов, в первую очередь самосопряженных, находит многочисленные применения в теории колебаний, теории стационарных случайных процессов, квантовой механике, дифференциальных и интегральных уравнениях, и др. областях математики и математической физики.

Цели  дипломной работы. На базе ранее изученных дисциплин обобщить знания по математическим дисциплинам, обобщить теоретические знания и практические навыки; рассмотреть основы теории линейных операторов и методы решения операторных уравнений, рассмотреть оценки спектральных радиусов интегральных операторов, получить оценки позитивного спектра линейного неразложимого оператора.

Изучив имеющийся материал по данной теме, я поставила перед собой следующие задачи:

1.  раскрыть некоторые основы теории линейных операторов, необходимые для освоения методов решения операторных уравнений;

2.  изучить понятие спектра для интегрального оператора, обобщить известное понятие неразложимости на более широкий класс операторов (Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.-неразложимые, неразложимые нелинейные операторы).

3.  Оценить спектральный радиус интегрального оператора для операторных уравнений с операторами различной природы.

Новизна работы. В работе приведены оценки спектральных радиусов линейных положительных полукоммутирующих операторов.

Дипломная работа состоит из введения, трех глав и списка использованной литературы. В  работе  для целостности изложения приведен ряд известных результатов, которые сопровождаются ссылками.

В первой главе содержатся необходимые теоретические знания, касающиеся  теории операторов, различных видов операторов, рассмотрены их основные свойства. Параграф второй  содержит понятие конуса, основные виды и свойства конусов, т.к. в пространствах с конусами  очень удобно рассматривать интегральные операторы.  В этом параграфе понятие конуса рассматривается также с экономической точки зрения.

Параграф 4  содержит сведения, касающиеся интегральных уравнений с вырожденным ядром и уравнений типа свертки.

Вторая глава посвящена рассмотрению вопросов, связанных с исследованием вычисления спектрального радиуса интегрального оператора. Рассматривается  понятие спектрального радиуса линейного оператора, в терминах этого понятия приводятся важнейшие теоремы существования неотрицательного решения соответствующих моделей математической экономики (модель Леонтьева, модель Леонтьева-Форда, обобщенная модель Леонтьева-Форда). Исследуются вопросы, связанные со  сравнением спектральных радиусов двух положительных операторов. Рассматриваются оценки спектральных радиусов двух интегральных операторов различной природы, приведены примеры, иллюстрирующие эти результаты. Также  приведены новые оценки спектрального радиуса линейного положительного оператора.

В главе III изучается влияние взаимного расположения особенностей ядра интегрального оператора на его норму, спектральный радиус. Рассмотрены  верхние и нижние оценки интегральных операторов. На основе этих неравенств вводится отношение частичного порядка, позволяющее в некоторых случаях сравнивать нормы интегральных операторов. Рассмотрены оценки нормы интегрального оператора в простра нствах Лебега и Лоренца, автором сформулировано замечание к теореме для трехпараметрического пространства  Лоренца.


Глава I

Интегральные операторы

§ 1. Операторы

При рассмотрении отображений пространств в функциональном анализе используют понятия операторов и функционалов [9], [14], [30].

Под операторами понимают отображения, ставящие в соответствие функции другую функцию.

Под функционалами понимают функции, отображающие элементы линейного пространства в его пространство скаляров.

Значительное число задач, встречающихся в математике и ее приложениях, могут рассматриваться как конкретные примеры операторных уравнений.

Пусть X и Y – линейные пространства, оба вещественные или оба комплексные.

Определение. Оператор А: X → Y с областью определения D(А) называется линейным, если

А(λ1x1 + λ2x2) = λ1А(x1) + λ2А(x2)

для любых x1,x2 Î D и любых скаляров λ1 и λ2.

Пусть X и Y – нормированные пространства и А: X → Y, где А – линейный оператор, всюду заданный в X (т.е. D(А) = X).

Определение. Оператор А называется непрерывным в точке x0 Î X, если Аx → Аx0 при x → x0. Но судить о непрерывности линейного оператора в различных точках x0 Î X можно по непрерывности его в нуле пространства X.

Введем в рассмотрение банахово пространство [3]. Банаховым пространством называется полное нормированное векторное пространство.

Теорема 1. Пусть линейный оператор А всюду задан в банаховом пространстве E,  и со значениями в банаховом пространстве Y непрерывен в точке 0Î E; тогда А непрерывен в любой точке x0 Î E.

Доказательство.

Рассмотрим равенство Аx – Аx0 = А (x – x0). Если x → x0, то z = x – x0 → 0. По непрерывности в нуле Аz → 0, но тогда Аx – Аx0 → 0, что и требовалось доказать.

Определение. Линейный оператор А называется непрерывным, если он непрерывен в точке x=0.

Пусть S1(0) – замкнутый шар ||x|| ≤ 1 в банаховом пространстве E.

Будем называть линейный оператор А: X→Y ограниченным, если он ограничен на единичным шаре S1(0), т.е. если ограничено множество

{ ||Аx||, ||x|| ≤ 1}.

Согласно определению, если А ограничен, то существует постоянная с > 0 такая, что для любых x, ||x|| ≤ 1 справедливо неравенство

||Аx|| ≤ с                                                    (1)

Теорема 2. Если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. - линейный оператор, то следующие утверждения эквивалентны:

1) существует точка Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., в которой оператор A непрерывен;

2) оператор A непрерывен;

3) оператор A ограничен;

4) величина Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. конечна.

Теорема 3. А ограничен тогда и только тогда, когда справедлива оценка

||Аx|| ≤ с ||x||                                               (2)

для любых x ÎE, где с – постоянная.

Теорема 4. Пусть А: X → Y, А – линейный оператор, X, Y – банаховы пространства. Для того чтобы А был непрерывным, необходимо и достаточно, чтобы он был ограниченным.

§ 2. Конусы

Из теоремы 2, предыдущего параграфа следует, что величина Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. тесно связана с непрерывностью оператора A  [4].

Лемма. Для любого линейного оператора A справедливы равенства

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Доказательство.

Введем обозначения

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

и последовательно докажем цепочку неравенств Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Каждая из величин Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. может равняться не только неотрицательному вещественному числу, но и плюс бесконечности.

Неравенство Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.очевидно, поскольку в обеих частях неравенства супремум берется от одной и той же величины Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.множество допустимых значений x шире.

Чтобы убедиться в справедливости неравенства Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., заметим, что для любого Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. мы имеем

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

а значит, и супремум выражения Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,не превосходит β, т.е. справедливо неравенство Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., что и требовалось доказать.

Чтобы проверить неравенство Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Если же x=0, то Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., что и требовалось доказать.

Определение. Общее значение выражений

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.                                         (3)

называется нормой оператора A и обозначается через Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..Такое название объясняется тем, что, как показывает cледующая теорема, величина Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. действительно обладает свойствами нормы: она неотрицательна, положительно однородна и для нее справедливо неравенство треугольника.

Будем рассматривать банахово пространство Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., полуупорядоченное конусом Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. произвольной природы, действующий в Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. [29].

Определение. Выпуклое множество Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. называется конусом, если вместе с каждой своей точкой Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. оно содержит луч, проходящий через Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (лучом, проходящим через точку Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., называется совокупность точек Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.).

Определение. Конус Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. называется телесным, если он содержит внутренние элементы. Если любой элемент Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. может быть представлен в виде Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. называется воспроизводящим. Конус Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. называется нормальным, если из неравенства Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.  константа нормальности, не зависящая ни от Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Определение. Множество Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. функционалов сопряженного пространства Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., принимающих неотрицательные значения на элементах конуса Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., называется сопряженной полугруппой. Для того чтобы полугруппа Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. была конусом, приходится налагать дополнительные условия на конус Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Будем говорить, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. является квазивнутренним элементом, и обозначать Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., если для каждого ненулевого функционала Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Положительный линейный оператор Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. назовем неразложимым, если для любого Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. из неравенства Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

В соответствии с [44], условимся писать, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

В случае конечномерных пространств с конусом, составленном из векторов с неотрицательными компонентами, линейные положительные операторы определяются матрицами с неотрицательными элементами.

Полугруппа (конус) К называется нормальной (нормальным), если существует такое постоянное число N, что для всех x, y Î E, удовлетворяющих соотношению

q £ x £ y,

имеет место неравенство

||x|| £ N||y||.

В этом случае говорят, что норма в Е полумонотонна.

Конусы неотрицательных функций в пространствах С, Zp нормальны. Нормальны также все конусы в конечномерных пространствах. Не каждый конус обладает свойствами нормальности. Например, конус неотрицательных функций в пространстве Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. с нормой

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

не обладает свойством нормальности.

Пространство, в котором каждая ограниченная монотонная последовательность имеет предел, называется правильно полуупорядоченным. Конус, который порождает правильную полуупорядоченность будем назвать правильным.

Определение. Конус К назовем вполне правильным, если каждая монотонная ограниченная по норме последовательность сходится (по норме) к некоторому пределу.

Известно (см. [28], [30]), что каждый вполне правильный конус является правильным, каждый правильный конус является нормальным, конусы в конечномерных пространствах Rn являются вполне правильными. В конечномерном пространстве каждый воспроизводящий конус обладает свойством телесности.

Приведем еще один крайне важный класс конусов. Прежде отметим следующее определение.

Определение. Пусть x, y – какие-либо два элемента полуупорядоченного пространства Е. Точной верхней гранью элементов x, y назовем такой элемент     u = sup{x, y}, который обладает свойствами:

10. u ³ x, u ³ y;

20. для всякого элемента w:

w ³ x, w ³ y

 следует, что

u £ w,

т.е. sup{x, y} является верхней гранью элементов х и у одновременно, причем это -наименьшая из всех верхних граней этих элементов.

Определение. Если в полуупорядоченном пространстве Е для каждой пары элементов х, у существует sup{x, y}, то конус К называется миниэдральным (в дословном переводе этот термин означает, что конус имеет минимально возможное число граней).

Примерами миниэдральных конусов являются конусы векторов с неотрицательными координатами в пространствах Rn, конусы неотрицательных функций в пространствах С[a,b], Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., конусы неотрицательных последовательностей в пространствах lp (р ³ 1), т – ограниченных числовых последовательностей и некоторые другие.

Для миниэдральных конусов, наряду с понятием точной верхней грани элементов х, у, вводится понятие точной нижней грани элементов х, у, т.е. inf{x, y}. Приведем соответствующее определение.

Определение. Для данных элементов х, у из Е, Е – полуупорядоченное пространство, точной нижней гранью назовем такой элемент v = inf{x, y}, который обладает свойствами:

10. v £ x, v £ y;

20. для всякого элемента w1:

w1 £ x, w1 £ y

 выполняется неравенство

v ³ w1,

т.е. w – это наибольшая из всех нижних граней элементов х, у.

Развитием понятия миниэдральности конуса является понятие сильной миниэдральности конуса К.

Определение. Конус К называется сильно миниэдральным, если для каждого ограниченного сверху по конусу К множества элементов М существует точная верхняя грань.

Ясно, что каждый миниэдральный конус является сильно миниэдральным. Обратное не верно, т.е. конус может быть миниэдральным, не будучи сильно миниэдральным. Миниэдральные конусы обладают рядом замечательных свойств, теория полуупорядоченных пространств с сильно миниэдральными конусами выделена в специальный раздел функционального анализа, который называется теорией структур. Основы теории структур были заложены в работах известного математика Биркгофа [5], [15].

Определение. Критерием качества К мы назовем любой критерий сравнения Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. векторных величин x, y, который удовлетворяет следующим свойствам (аксиомам):

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то для элемента (-х) соотношение Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. нарушается;

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Критерий качества К будем называть отношением предпочтения. Множество всех элементов х, являющихся предпочтительнее нулевого элемента Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., будем называть конусом.

Отметим, что из перечисленных свойств Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. критерия качества вытекают следующие важные свойства конуса К:

1) если  Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.< 0;

2) из  uРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. K;

3) если х Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

При наличии в Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. конуса К у нас появляется возможность устанавливать отношение предпочтения > для некоторых (не для всех) пар х, у элементов, если условиться считать, что х Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. у в том и только в том случае, если (х - у) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.К. Отметим при этом, что все приведенные выше свойства  Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. соблюдаются.

Пример конуса в множестве Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. n-мерных векторов - это множество векторов с неотрицательными координатами, этот конус принято обозначать через Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Хотя понятно это не единственный пример конуса в Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Так в случае n = 3 Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. это множество векторов первого октанта, хотя в Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. можно рассматривать и другие примеры конусов, например «круглый» конус (см. рис.1). Каждый конус можно описать аналитически с помощью системы функций и неравенств. Например, конус Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. можно описать аналитически с помощью системы линейных неравенств:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.


                                     L

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.                          

                           K

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

  Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.                     Рис.1

 «Круглый» конус, изображенный на рис.1 - это множество векторов, лежащих внутри или на границе конической поверхности с вершиной в начале координат и направляющей - линией L, не проходящей через начало координат. Выбирая разные направляющие, мы будем получать разные примеры конусов. Так, если выбрать в качестве направляющей Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. контур треугольника (рис.2), мы получим трехгранный конус. Аналогично можно рассмотреть четырехгранные, пятигранные и т.д. конусы. «Круглый» конус, изображенный на рис.1, можно рассматривать в этой связи как конус, имеющий бесконечное число граней (каждое из ребер является одномерной гранью).

Особое место среди конусов занимают конусы с минимально возможным числом граней. Заметим, что в случае пространства Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (т.е. плоскости) каждый конус имеет ровно две грани и число 2 - это единственно возможное число граней конуса на плоскости.

                      Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. 

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.


  

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.                                       Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.              Рис.2     

Поэтому каждый конус на плоскости имеет минимально возможное число граней. В случае пространства Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. - минимально возможное число граней у конуса, содержащего хотя бы одну внутреннюю точку, равно трем. В пространствеРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. минимально возможное число (n-1)-мерных граней у конуса, содержащего хотя бы одну внутреннюю точку, равно n.

Тогда миниэдральным  конусом будет называться всякий конус, который, во-первых, содержит хотя бы одну внутреннюю точку и, во-вторых, имеет минимально возможное число граней.

Миниэдральные конусы обладают одним важным свойством. Для формулировки этого свойства нам понадобятся некоторые вспомогательные понятия.

Пусть Е- линейное пространство с конусом К и знак «Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.» есть отношение предпочтения по конусу К.

Однако, миниэдральные конусы в конечномерных пространствах Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. обладают следующим фундаментальным свойством:

если конус К миниэдрален, то каждое ограниченное сверху (соответственно, снизу) множество М элементов имеет точную верхнюю sup М (соответственно, точную нижнюю inf  M) грань.

Пример. Рассмотрим в пространстве Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. с неотрицательными координатами множество Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., удовлетворяющих для заданного вектора Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.неравенству

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Тогда inf Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. не существует.

Аналогично, если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., удовлетворяющих неравенству

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

то supРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. не существует.

§3. Интегральные операторы

Большой интерес представляют линейные интегральные операторы

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

действующие в различных пространствах Е функций, определенных на множестве W, которое мы предполагаем ограниченным и замкнутым подмножеством конечномерного пространства Rп [1], [16], [20].

Термин "интегральные уравнения" расплывчат. Обычно под интегральными уравнениями понимают уравнения, в которых неизвестная функция независимого (скалярного или векторного) аргумента встречается под знаком интеграла. Различают линейные и нелинейные интегральные уравнения, в зависимости от того зависит ли уравнение от неизвестной функции линейным или нелинейным образом. Многие линейные интегральные уравнения (в "одномерном" случае) могут быть записаны в виде

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.                              (1)

где x: [a, b] → R — искомая функция, α, f: [a, b] → R и K: [a, b]×[a, b] → R — заданные функции. Функцию K обычно называют ядром интегрального уравнения.

Уравнение (1), когда K(t, s) = 0 при atsb, называют уравнением Вольтерры. В противном случае его называют уравнением Фредгольма [2]. Уравнение Вольтерры, очевидно, оно может быть переписано в виде

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Наиболее распространенными представителями нелинейных интегральных уравнений являются уравнения Урысона

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

и уравнения Гаммерштейна

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Уравнения I и II рода

Если α(t) ≠ 0 при всех t Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.[a, b], то уравнение (1), очевидно, может быть переписано в виде

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.                                     (2)

Уравнения такого вида называют уравнениями II рода, отличая их от уравнений I рода

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.                                     (3)

Если в некотором пространстве функций на отрезке [a, b] определить интегральный оператор

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

то уравнения (2) и (3), очевидно, переписываются в виде

x = Ix + f                                                    (4)

и

0 = Ix + f                                                    (5)

Прежде, чем объяснить разницу между уравнениями I и II родов, введем понятие корректности уравнения. Огрубляя ситуацию, говорят, что уравнение (4) или (5) корректно, если при любых f оно однозначно разрешимо и решение x непрерывно зависит от f. Более точно, говорят, что (линейное) уравнение корректно в паре (E1, E2) банаховых пространств функций на отрезке [a, b], если для любой f Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.E2 уравнение имеет единственное решение xРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.E1 и, кроме того, найдется такая константа C, что ||x||E1 ≤ ||f ||E2.

Разница между уравнениями I и II родов особенно ясно проявляется после записи интегральных уравнений в операторном виде. Суть здесь в следующем. Интегральные операторы в большинстве своем оказываются вполне непрерывными операторами. Для корректной разрешимости уравнения II рода, т. е. уравнения (4) при любой функции f необходимо и достаточно обратимости оператора I – I и ограниченности (I – I)–1, что в случае вполне непрерывного оператора I есть ситуация общего положения. Для разрешимости уравнения I рода необходима обратимость оператора I. В случае же вполне непрерывного оператора I–1 если он существует, необходимо, чтобы он являлся неограниченным [].

Уравнения I рода представляют собой существенно более сложный объект исследования.

§4. Интегральные уравнения с вырожденным ядром и уравнения

типа свертки

Выделим еще два класса линейных интегральных уравнений, часто встречающихся в математическом обиходе [2], [29]. Первый из них состоит из так называемых интегральных уравнений с вырожденным ядром. К ним относят интегральные уравнения, ядро которых представимо в виде

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.                                            (6)

Интегральные уравнения (скажем, Фредгольма II рода) с вырожденным ядром легко сводятся к системе алгебраических уравнений. Используя (6), уравнение (2) можно переписать в виде

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.                                          (5)

где

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Умножение (7) на ηj и интегрирование по t от a до b приводит к системе алгебраических уравнений относительно неизвестных cj:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

в которой

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Уравнение Вольтерры типа свертки выделяется специальным видом ядра K(t, s) = k(ts):

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Название наследуется от интегрального оператора свертки

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

играющего роль умножения в банаховых алгебрах функций. Уравнение типа свертки весьма широко распространено в приложениях.

Уравнение Фредгольма типа свертки выглядит так:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Линейный оператор называется вполне непрерывным, если он переводит каждое ограниченное по норме пространства Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. множество в компактное множество.

Почти во всякой физической задаче, которая может быть сформулирована с помощью линейных операторов, важной характеристикой типа задачи является спектр соответствующего оператора [13]. Одной из основных характеристик спектра оператора является спектральный радиус этого оператора. Напомним, что те значения Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., при которых уравнение

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. – рассматриваемый оператор, имеет единственное решение, а оператор Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. ограничен, называются регулярными. Совокупность всех значений Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., не являющихся регулярными, называется спектром оператора Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. оператора называется число, определенное формулой

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Если уравнение

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

при данном Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. имеет решение, отличное от тривиального, то Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. называется собственным значением оператора Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., а нетривиальное решение уравнения  называется собственным вектором, отвечающим этому собственному значению Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. При этом собственное значение Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. называется позитивным, если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и отвечающий ему собственный вектор Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. принадлежит конусу Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..


Глава II

Оценки спектральных радиусов интегральных операторов

§1. Сравнение спектральных радиусов двух положительных

операторов

Многочисленные технические, физические, а также экономические задачи приводят к отысканию решения типа

lx = Ax + f.

Известно, что данное уравнение будет иметь единственное решение, которое можно найти, используя метод последовательных приближений, если спектральный радиус оператора A меньше единицы.

В  терминах понятия спектрального радиуса [20], [24], устанавливаются важнейшие теоремы существования неотрицательного решения соответствующих моделей математической экономики (модель Леонтьева, модель Леонтьева-Форда, обобщенная модель Леонтьева-Форда).

Приведем соответствующее определение.

Пусть А – линейный ограниченный оператор, действующий в банаховом пространстве Е. Вещественное или комплексное число l называется регулярным значением оператора  А, если оператор

(lI - A)

имеет ограниченный обратный, определенный во всем пространстве Е. В противном случае соответствующее число l называется точкой спектра оператора А. Совокупность всех точек спектра оператора А обозначается s(А).

Спектральным радиусом r(А) оператора А называется следующая величина:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Для ограниченного оператора А спектральный радиус r(А) является ограниченной величиной, более того из принципа Банаха сжатых отображений [23] следует оценка

r(А) < ||A||.

Важнейшим фактом теории линейных положительных операторов является следующий факт:

Пусть конус К – нормальный и воспроизводящий, тогда r(А) является точкой спектра оператора А (теорема Карлина).

Более того, при несущественных дополнительных предположениях r(А) является собственным значением оператора А, которому отвечает собственный вектор x*Î К (теорема Перрона-Фробениуса [2]).

В теории принципа Хикса для интегрального уравнения с неотрицательным ядром важную роль для его справедливости играет условие вида

r(A)<1,                                             (1)

где r(A)  - спектральный радиус интегрального оператора А с ядром K(t,s). Естественно иметь признаки, обеспечивающие выполнение условия (1). Для этого получим соответствующие признаки для случаев, когда А:

10) A=(aij)    (i,j=1,2,3…);                                                                    (2)

20) A – интегральный оператор вида

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,                                   (3)

где W - ограниченное замкнутое множество из евклидова пространства Rm, K(t,s) – измеримая по sÎW  почти при всех значениях tÎW функция, для которой при некоторых p>1 и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. выполняется условие:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..                                         (4)

При выполнении условия (4) оператор (3), как известно, действует в пространстве Lp(W) и является вполне непрерывным оператором в этом пространстве [ 29].

Введем в рассмотрение следующие функции

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..                                 (5)

Теорема 1.   Пусть для некоторого aÎ[0,1]  выполняется следующее неравенство

Pa(t)Q1-a(t)£1   (tÎW)                                          (6)

и, кроме того, выполняется одно из двух следующих условий:

10) в неравенстве (6) равенство допускается лишь на множестве точек лебеговой меры нуль;

20) в неравенстве (6)  строгое неравенство выполняется для всех t из некоторого множества wÎW,  mesw>0, оператор А – неразложим в пространстве Lp(W).

Тогда спектральный радиус r(A) оператора А в пространстве Lp(W) меньше чем единица:

r(A)<1.                                                     

Аналогичный результат имеет место и в том случае, когда интегральный оператор (3) действует в пространстве C(W) и неразложим в этом пространстве относительно конуса неотрицательных функций пространства C(W).

Получению оценок спектрального радиуса положительного оператора по информации о поведении этого оператора на фиксированном ненулевом элементе конуса Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. посвящена достаточно обширная литература [21], [11], [13], [18], [26], [29]. Речь идет о том, что из неравенства вида

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. - фиксированный элемент из Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., вытекает оценка снизу

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

для спектрального радиуса Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. линейного положительного оператора Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., а из неравенства вида

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.                                                 (7)

(при некоторых дополнительных предположениях [29] относительно элемента Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.), вытекает оценка сверху для Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. вида

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..                                                  (8)

Для этого, например, достаточно, чтобы конус Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. был телесным и нормальным, и чтобы Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. был внутренним элементом конуса Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Заметим, что без соответствующих дополнительных предположений утверждать о наличии оценки сверху типа  (8), очевидно, нельзя. В отличие от оценки Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. снизу верна при единственном предположении о том, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Поставим вопрос существенно шире: что можно сказать о том, что если вместо условия (7) нам известно условие вида

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,                                                (9)

где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. - некоторый линейный оператор, действующий в пространстве Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.? По аналогии с упомянутой оценкой вида (8) естественно спросить: не следует ли из условия (9) оценка

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.?                                                      (10)

При положительном ответе на этот вопрос получаем возможность иметь как следствия, ранее установленные ([11], [18], [26], [29]) результаты по оценке сверху спектральных радиусов линейных положительных операторов по информации о поведении операторов Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. на фиксированном элементе конуса Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Теорема 2. Пусть конус Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. - внутренний элемент конуса Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. - линейные положительные операторы, действующие в Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., причем они коммутируют, т.е.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..                                                  (11)

Пусть хотя бы на одном фиксированном элементе Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. выполняется неравенство

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

тогда для спектральных радиусов Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. справедливо следующее неравенство:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. .

Доказательство.

Перейдем в пространстве Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. к Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.- норме [26], [29], которая, во-первых, определена на всем Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., так как конус Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. телесен, и, во-вторых, эквивалентна норме в Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., т.к. конус Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. нормален. Тем самым пространство Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.-норме. Прежде всего, установим, что для произвольного линейного положительного оператора Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. справедливо равенство

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..                                          (12)

Действительно, из неравенства

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

справедливого для любого Рисунок
<p>Здесь опубликована для ознакомления часть дипломной работы Если у вас нет возможности самостоятельно написать дипломную - закажите её написание опытному автору»


Просмотров: 577

Другие дипломные работы по специальности "Физика":

Электроснабжение завода продольно-строгальных станков

Смотреть работу >>

Математическое моделирование пластической деформации кристаллов

Смотреть работу >>

Электроснабжение фермы КРС на 800 голов в ОАО "Петелино" Ялуторовского района Тюменской области с обеспечением нормативных условий надежности

Смотреть работу >>

Электроснабжение судоремонтного завода

Смотреть работу >>

Повышение надежности электроснабжения потребителей н. п. Орлово Армизонского района Тюменской области с выбором оборудования на ПС 110/10 кВ "Орлово"

Смотреть работу >>