Дипломная работа на тему "Численное решение уравнения Шредингера средствами Java"

ГлавнаяФизика → Численное решение уравнения Шредингера средствами Java




Не нашли то, что вам нужно?
Посмотрите вашу тему в базе готовых дипломных и курсовых работ:

(Результаты откроются в новом окне)

Текст дипломной работы "Численное решение уравнения Шредингера средствами Java":


Численное решение уравнения Шредингера средствами Java

Содержание

Введение

1. Уравнение Шредингера и физический смысл его решений

1.1 Волновое уравнение Шредингера

1.2 Волновые функции в импульсном представлении

2. Методы численного решения нестационарного уравнения Шредингера

2.1 Метод конечных разностей для одномерного нестационарного уравнения Шредингера

2.2 Преобразование Фурье

2.3 Метод аппроксимации оператора эволюции (split -operator method)

3. Методы численного решения стационарного уравнения Шредингера

3.1 Метод Нумерова

4. Программная реализация численных методов средствами Java

4.1 Обзор языка программирования Java

Заказать написание дипломной - rosdiplomnaya.com

Специальный банк готовых оригинальных дипломных работ предлагает вам скачать любые проекты по необходимой вам теме. Профессиональное написание дипломных работ по индивидуальным требованиям в Нижнем Новгороде и в других городах РФ.

4.2 Элементы программирования Java 2 используемые в работе

Заключение

Список использованных источников

Введение

Известно, что курс квантовой механики является одним из сложных для восприятия. Это связано не столько с новым и "необычным" математическим аппаратом, сколько прежде всего с трудностью осознания революционных, с позиции классической физики, идей, лежащих в основе квантовой механики и сложностью интерпретации результатов.

В большинстве учебных пособий по квантовой механике изложение материала основано, как правило, на анализе решений стационарного уравнений Шредингера. Однако стационарный подход не позволяет непосредственно сопоставить результаты решения квантовомеханической задачи с аналогичными классическими результатами. К тому же многие процессы, изучаемые в курсе квантовой механики (как, например, прохождение частицы через потенциальный барьер, распад квазистационарного состояния и др.) носят в принципе нестационарный характер и, следовательно, могут быть поняты в полном объеме лишь на основе решений нестационарного уравнения Шредингера. Поскольку число аналитически решаемых задач невелико, использование компьютера в процессе изучения квантовой механики является особенно актуальным.

1. Уравнение Шредингера и физический смысл его решений

1.1 Волновое уравнение Шредингера

Одним из основных уравнений квантовой механики является уравнение Шредингера, определяющее изменение состояний квантовых систем с течением времени. Оно записывается в виде

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(1.1)

где Н — оператор Гамильтона системы, совпадающий с оператором энергии, если он не зависит от времени. Вид оператора Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. определяется свойствами системы. Для нерелятивистского движения частицы массы Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. в потенциальном поле U(r) оператор Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. действителен и представляется суммой операторов кинетической и потенциальной энергии частицы

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(1.2)

Если частица движется в электромагнитном поле, то оператор Гамильтона будет комплексным.

Хотя уравнение (1.1) является уравнением первого порядка по времени, вследствие наличия мнимой единицы оно имеет и периодические решения. Поэтому уравнение Шредингера (1.1) часто называют волновым уравнением Шредингера, а его решение называют волновой функцией, зависящей от времени. Уравнение (1.1) при известном виде оператора Н позволяет определить значение волновой функции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.в любой последующий момент времени, если известно это значение в начальный момент времени. Таким образом, волновое уравнение Шредингера выражает принцип причинности в квантовой механике.

Волновое уравнение Шредингера может быть получено на основании следующих формальных соображений. В классической механике известно, что если энергия задана как функция координат и импульсов

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.HРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,(1.3)

то переход к классическому уравнению Гамильтона—Якоби для функции действия S

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.HРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

можно получить из (1.3) формальным преобразованием

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Таким же образом уравнение (1.1) получается из (1.3) при переходе от (1.3) к операторному уравнению путем формального преобразования

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(1.4)

если (1.3) не содержит произведений координат и импульсов, либо содержит такие их произведения, которые после перехода к операторам (1.4) коммутируют между собой. Приравнивая после этого преобразования результаты действия на функцию Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. операторов правой и левой частей полученного операторного равенства, приходим к волновому уравнению (1.1). Не следует, однако, принимать эти формальные преобразования как вывод уравнения Шредингера. Уравнение Шредингера является обобщением опытных данных. Оно не выводится в квантовой механике, так же как не выводятся уравнения Максвелла в электродинамике, принцип наименьшего действия (или уравнения Ньютона) в классической механике.

Легко убедиться, что уравнение (1.1) удовлетворяется при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. волновой функцией

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

описывающей свободное движение частицы с определенным значением импульса. В общем случае справедливость уравнения (1.1) доказывается согласием с опытом всех выводов, полученных с помощью этого уравнения.

Покажем, что из уравнения (1.1) следует важное равенство

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,(1.5)

указывающее на сохранение нормировки волновой функции с течением времени. Умножим слева (1.1) на функцию Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.*, a уравнение, комплексно сопряженное к (1.1), на функцию Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и вычтем из первого полученного уравнения второе; тогда находим

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,(1.6)

Интегрируя это соотношение по всем значениям переменных и учитывая самосопряженность оператора Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., получаем (1.5).

Если в соотношение (1.6) подставить явное выражение оператора Гамильтона (1.2) для движения частицы в потенциальном поле, то приходим к дифференциальному уравнению (уравнение непрерывности)

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., (1.7)

где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. является плотностью вероятности, а вектор

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(1.8)

можно назвать вектором плотности тока вероятности.

Комплексную волновую функцию Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. всегда можно представить в виде

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.— действительные функции времени и координат. Таким образом, плотность вероятности

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

а плотность тока вероятности

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..(1.9)

Из (1.9) следует, что j = 0 для всех функций Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., у которых функция Ф не зависит от координат. В частности, j= 0 для всех действительных функций Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Решения уравнения Шредингера (1.1) в общем случае изображаются комплексными функциями. Использование комплексных функций весьма удобно, хотя и не необходимо. Вместо одной комплексной функции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. состояние системы можно описать двумя вещественными функциями Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., удовлетворяющими двум связанным уравнениям. Например, если оператор Н — вещественный, то, подставив в (1.1) функцию Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и отделив вещественную и мнимую части, получим систему двух уравнений

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

при этом плотность вероятности и плотность тока вероятности примут вид

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. [1]

1.2 Волновые функции в импульсном представлении.

Фурье-образ Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. волновой функции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. характеризует распределение импульсов в квантовом состоянии Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Требуется вывести интегральное уравнение для Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. с Фурье-образом потенциала в качестве ядра.

Решение. Между функциями Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. имеются два взаимно обратных соотношения.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(2.1)

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(2.2)

Если соотношение (2.1) использовать в качестве определения Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и применить к нему операцию Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то с учетом определения 3-мерной Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.-функции,

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

в результате, как нетрудно убедиться, получится обратное соотношение (2.2). Аналогичные соображения использованы ниже при выводе соотношения (2.8).

Положим далее

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,(2.3)

тогда для Фурье-образа потенциала будем иметь

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(2.4)

Предполагая, что волновая функция Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. удовлетворяет уравнению Шредингера

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(2.5)

Подставляя сюда вместо Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. соответственно выражения (2.1) и (2.3), получаем

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

В двойном интеграле перейдем от интегрирования по переменной Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. к интегрированию по переменной Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., а затем эту новую переменную вновь обозначим посредством Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Интеграл по Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. обращается в нуль при любом значении Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. лишь в том случае, когда само подынтегральное выражение равно нулю, но тогда

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..(2.6)

Это и есть искомое интегральное уравнение с Фурье-образом потенциала Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. в качестве ядра. Конечно, интегральное уравнение (2.6) можно получить только при условии, что Фурье-образ потенциала (2.4) существует; для этого, например, потенциал Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. должен убывать на больших расстояниях по меньшей мере как Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Необходимо отметить, что из условия нормировки

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (2.7)

следует равенство

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..(2.8)

Это можно показать, подставив в (2.7) выражение (2.1) для функции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Если здесь сначала выполнить интегрирование по Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то мы без труда получим соотношение (2.8).[2]

2. Методы численного решения нестационарного уравнения Шредингера

2.1 Метод конечных разностей для одномерного нестационарного уравнения Шредингера

В большинстве учебных пособий по квантовой механике изложение материала основано, как правило, на анализе решений стационарного уравнений Шредингера. Однако стационарный подход не позволяет непосредственно сопоставить результаты решения квантовомеханической задачи с аналогичными классическими результатами. К тому же многие процессы, изучаемые в курсе квантовой механики (как, например, прохождение частицы через потенциальный барьер, распад квазистационарного состояния и др.) носят в принципе нестационарный характер и, следовательно, могут быть поняты в полном объеме лишь на основе решений нестационарного уравнения Шредингера. Поскольку число аналитически решаемых задач невелико, использование компьютера в процессе изучения квантовой механики является особенно актуальным.

Нестационарное уравнение Шредингера, определяющее эволюцию волновой функции во времени, представляет собой дифференциальное уравнение первого порядка по времени и имеет следующий вид

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(3.1)

где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.оператор полной энергии системы. Для одномерного случая

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Общее решение уравнения (1) формально можно записать в виде

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(3.2)

где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.- волновая функция системы в момент времени Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.- оператор эволюции (пропагатор).

Особенностью выражения (3.2) является то, что в показателе экспоненты стоит оператор. Определить действие оператора эволюции на волновую функцию можно, например, разложив ее по собственным функциям оператора Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. . Так, в случае дискретного спектра Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. выражение для волновой функции в произвольный момент времени имеет вид

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(3.3)

Аналогичное выражение может быть получено и для непрерывного спектра.

Разложение (3.3) удобно использовать в тех случаях, когда решения стационарного уравнения Шредингера для конкретной задачи являются известными. Но к сожалению круг таких задач очень ограничен. Большинство современных численных методов решения уравнения (3.1) основаны на использовании различных аппроксимаций оператора эволюции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Так, например, разложение оператора эволюции в ряд Тейлора с сохранением первых двух членов дает следующую схему

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,(3.4)

здесь Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.номер шага по времени. Существенным недостатком этого алгоритма является необходимость знать волновую функцию в моменты Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Кроме того, для оценки действия оператора Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. на функцию Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. нужно вычислять вторую производную по координате. Простейшая конечно-разностная аппроксимация второй производной

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(3.5)

дает неудовлетворительный результат. (См. программный блок 1)[3]

2.2 Преобразование Фурье

Начнем с комплексного ряда Фурье

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рассмотрим случай LРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..Тогда сумму можно преобразовать в интеграл следующим образом: определимРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.=g(y).Так как Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. возрастает каждый раз на единицу, то

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Таким образом, полученные выше формулы приобретают вид

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(4.1)

Величина Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.называется преобразованием Фурье от Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и наоборот. Положение множителя Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. довольно произвольно; часто величины Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. определяют более симметрично:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (4.2)

Выражения (4.1) или (4.2) можно скомбинировать следующим образом:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(4.3)

Равенство (4.3) удовлетворяется для любой функции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. это позволяет сделать интересный вывод об интеграле Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. как функции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Он равен нулю всюду, кроме точки Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., а интеграл от него по любому промежутку, включающему Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., равен единице, т. е. эта функция имеет бесконечно высокий и бесконечно узкий пик в точке Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Обычно определяют Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (Дирака) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. следующим образом:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(4.4)

Из этих уравнений следует, что

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (4.5)

для любой функции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., в случае если интервал интегрирования включает точку Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Проделанные выше операции над интегралами Фурье показали, что

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (4.6)

Это интегральное представление Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.функции.

Дельта – функцию можно использовать, чтобы выразить важный интеграл Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. через преобразование Фурье (4.1) от Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(4.7)

Это равенство называется теоремой Парсеваля. Она полезна для понимания физической интерпретации преобразования Фурье для Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., если известен физический смысл Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Предположим, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. четная функция. Тогда

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Заметим теперь, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.-- также четная функция. Поэтому

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(4.9)

Функция Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,определенные теперь только для положительных Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., называются косинус - преобразованиями Фурье по отношению друг к другу.

Рассматривая преобразования Фурье нечетной функции, получаем аналогичные соотношения Фурье между синус - преобразованиями Фурье:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(4.10)

Если нужно, можно симметризовать выражения, поставив множитель Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. перед каждым интегралом (4.7)-(4.10). [4]

2.3 Метод аппроксимации оператора эволюции (split -operator method)

Рассмотрим более подробно другой метод аппроксимации оператора эволюции, в котором отсутствуют недостатки, свойственные рассмотренной выше схеме. Здесь оператор эволюции аппроксимируется симметричным расщеплением оператора кинетической энергии (split -operator method)

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(5.1)

Основная погрешность данной аппроксимации связана с некоммутативностью операторов кинетической и потенциальной энергии. Вычисление действия такого оператора на волновую функцию включает следующие шаги. Преобразованная в импульсное представление волновая функция умножается на Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и преобразуется обратно в координатное представление, где умножается на Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Полученный результат снова преобразуется в импульсное представление, умножается на Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. преобразуется обратно в координатное представление. На этом один шаг по времени завершается. Переход от одного представления к

другому осуществляется посредством преобразования Фурье.

В данной курсовой работе используется Гауссов волновой пакет вида Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., а также ступенчатый потенциал. Сначала преобразуем нашу волновую функцию из координатного представления в импульсное

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. ,(5.2)

затем умножим полученный результат на Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. На этом завершается половина временного шага. Полученный результат снова преобразуется в координатное представление

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(5.3)

и умножается на Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. После чего вновь преобразуется в импульсное представление

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (5.4)

и умножается на Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Завершается шаг по времени еще одним преобразованием полученной волновой функции в координатное представление

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..(5.5)

Один шаг по времени завершен.

В данной работе этот метод реализован в среде Java, ниже приведены программный блок и полученные графики поведения волновой функции в различные моменты времени.

Важная особенность этого метода заключается в том, что действие каждого из операторов оценивается в их соответствующем локальном представлении.

С методической точки зрения ценность нестационарного подхода состоит в существенно большей наглядности и информативности результатов, по сравнению с результатами решения стационарного уравнения Шредингера. Круг задач, которые могут быть рассмотрены на основе решения нестационарного уравнения Шредингера очень разнообразен.

Для иллюстрации вышесказанного рассмотрим задачу о движении частицы в поле потенциального барьера. Хотя стационарный подход позволяет определить коэффициенты прохождения и отражения частицы он, однако, не позволяет рассмотреть реальную пространственно-временную картину движения частицы через потенциальный барьер, которая является существенно нестационарной. Рассмотрение задачи на основе решения нестационарного уравнения Шредингера позволяет не только сопоставить классический и квантовый подход к проблеме, но и получить ответы на ряд вопросов, представляющих значительный практический интерес (например, длительность процесса туннелирования, скорости прошедших и отраженных частиц и т. д.). Ниже мы приводим результаты решения нестационарного уравнения Шредингера для данной задачи. Начальное состояние частицы задано в виде пакета гауссовой формы, движущегося в направлении области действия потенциала. На графиках представлена временная картина туннелирования такого пакета через потенциальный барьер прямоугольной формы в виде "мгновенных снимков" волнового пакета в разные моменты времени. Как видно, при попадании пакета в область действия потенциала его форма нарушается в результате формирования отраженного волнового пакета и его интерференции с падающим на препятствие пакетом. Через некоторое время формируются два пакета: отраженный и прошедший через препятствие. Движение падающего и отраженного пакета можно сопоставить с движение классической частицы, положение которой совпадает с максимумом в распределении вероятности. В случае протяженного потенциала отраженный пакет "отстает" от отраженной от барьера классической частицы. Физически это связано с тем, что пакет частично проникает в классически запрещенную область, в то время как в классике отражение происходит строго в точке скачка потенциала. Образование же прошедшего пакета представляет собой сугубо квантовый эффект не имеющий классических аналогий.[3]

3. Методы численного решения стационарного уравнения Шредингера

3.1 Метод Нумерова

Рассмотрим решения одномерного стационарного уравнения Шредингера (3.1) частицы, движущейся в одномерном потенциале U(x).

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(3.1)

Будем при этом полагать, что его форма имеет потенциала, представленного на рис.1: в точках xmin, xmax потенциал становится бесконечно большим. Это означает, что в точках xmin, xmax расположены вертикальные стенки, а между ними находится яма конечной глубины.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок 1.

Для удобства дальнейшего решения запишем уравнение Шредингера (3.1) в виде:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(3.2)

Где

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(3.3)

С математической точки зрения задача состоит в отыскании собственных функций оператораРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., отвечающим граничным условиям

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(3.4)

и соответствующих собственных значений энергии E.

Так как Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то можно ожидать, что собственному решению данной задачи соответствует собственная функция, осциллирующая в классически разрешенной области движения Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и экспоненциально затухающим в запрещенных областях, где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Так как все состояния частицы в потенциальной яме оказываются связанными (т. е. локализованными в конечной области пространства), спектр энергий является дискретным. Частица, находящаяся в потенциальной яме конечных размеров Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., имеет дискретный спектр при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и непрерывный спектр при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Традиционно для решении задачи о нахождении собственных значений уравнения Шредингера используется метод пристрелки. Идея метода пристрелки состоит в следующем. Допустим, в качестве искомого значения ищется одно из связанных состояний, поэтому в качестве пробного начального значения энергии выбираем отрицательное собственное значение. Проинтегрируем уравнение Шредингера каким-либо известным численным методом на интервале Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. По ходу интегрирования от Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. в сторону больших значений Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. сначала вычисляется решение Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. , экспоненциально нарастающее в пределах классически запрещенной области. После перехода через точку поворота Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., ограничивающую слева область движения разрешенную классической механикой, решение уравнения становится осциллирующим. Если продолжить интегрирование далее за правую точку поворота Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то решение становится численно неустойчивым. Это обусловлено тем, что даже при точном выборе собственного значения, для которого выполняется условие Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., решение в области Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. всегда может содержать некоторую примесь экспоненциально растущего решения, не имеющего физического содержания. Отмеченное обстоятельство является общим правилом: интегрирование по направлению вовнутрь области, запрещенной классической механикой, будет неточным. Следовательно, для каждого значения энергии более разумно вычислить еще одно решение Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., интегрируя уравнение (3.1) от Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. в сторону уменьшения Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Критерием совпадения данного значения энергии является совпадение значений функций Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. в некоторой промежуточной точке Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Обычно в качестве данной точки выбирают левую точку поворота Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Так как функции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. являются решениями однородного уравнения (3.1), их всегда можно нормировать так, чтобы в точке Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. выполнялось условие Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Помимо совпадения значений функций в точке Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. для обеспечения гладкости сшивки решений потребуем совпадения значений их производных Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(3.5)

Используя в (17) простейшие левую и правую конечно-разностные аппроксимации производных функций Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. в точке Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., находим эквивалентное условие гладкости сшивки решений:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(3.6)

Число Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. является масштабирующим множителем, который выбирается из условия Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Если точки поворота отсутствуют, т. е. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.E>0, то в качестве Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. можно выбрать любую точку отрезка Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Для потенциалов, имеющих более двух точек поворота и, соответственно, три или более однородных решений, общее решение получается сшивкой отдельных кусков. В описанном ниже документе, для интегрирования дифференциального уравнения второго порядка мы используем метод Нумерова. Для получения вычислительной схемы аппроксимируем вторую производную трехточечной разностной формулой:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(3.7)

Из уравнения (3.1) имеем

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(3.8)

Подставив (3.7) в (3.8) и перегруппировав члены, получаем

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(3.9)

Разрешив (3.9) относительно Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. или Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., найдем рекуррентные формулы для интегрирования уравнения (3.1) вперед или назад по Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. c локальной погрешностью Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Отметим, что погрешность данного метода оказывается на порядок выше, чем погрешность метода Рунге-Кутта четвертого порядка. Кроме того данный алгоритм более эффективен, потому что значение функции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. вычисляются только в узлах сетки. Для нахождения численного решения оказывается удобным провести обезразмеривание уравнения (3.1), используя в качестве единиц измерения расстояния Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. - ширину потенциальной ямы, в качестве единиц измерения энергии - модуль минимального значения потенциала Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. В выбранных единицах измерения уравнение (3.1) имеет вид

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(3.10)

где

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(3.11)

Таким образом, вычислительный алгоритм для нахождения собственных функций и собственных значений уравнения Шредингера реализуется следующей последовательностью действий:

1. Задать выражение, описывающее безразмерный потенциал Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

2. Задать значение Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

3. Задать пространственную сетку, на которой проводится интегрирование уравнения (3.1).

4. Задать Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

5. Задать начальное значение энергии Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

6. Задать конечное значение энергии Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

7. Задать шаг изменения энергии Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

8. Проинтегрировать уравнение (3.1) для значения энергии Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. слева направо на отрезке Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

9. Проинтегрировать уравнение (3.1) для значения энергии Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. справа налево на отрезке Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

10. Вычислить значения переменной Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. для значения энергии Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

11. Увеличить текущее значение энергии на Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

12. Проинтегрировать уравнение (3.1) для значения энергии Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. слева направо на отрезке Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

13. Проинтегрировать уравнение (3.1) для значения энергии Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. справа налево на отрезке Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

14. Вычислить значения переменной Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. для значения энергии Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

15. Сравнить знаки Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

16. Если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., увеличить текущее значение энергии на Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и повторить действия, описанные в пп. 8-17.

17. Если Если у вас нет возможности самостоятельно написать дипломную - закажите её написание опытному автору»


Просмотров: 602

Другие дипломные работы по специальности "Физика":

Электроснабжение завода продольно-строгальных станков

Смотреть работу >>

Математическое моделирование пластической деформации кристаллов

Смотреть работу >>

Электроснабжение фермы КРС на 800 голов в ОАО "Петелино" Ялуторовского района Тюменской области с обеспечением нормативных условий надежности

Смотреть работу >>

Электроснабжение судоремонтного завода

Смотреть работу >>

Повышение надежности электроснабжения потребителей н. п. Орлово Армизонского района Тюменской области с выбором оборудования на ПС 110/10 кВ "Орлово"

Смотреть работу >>